Triết lý ẩn giấu sau định lý Pythagore

Trong cuộc đối thoại của Plato, Timaeus, chúng ta được trình bày lý thuyết rằng vũ trụ được cấu tạo từ các tam giác vuông.

Đề xuất này mà Timaeus đưa ra sau khi nhắc nhở khán giả rằng các lý thuyết trước đó cho rằng nước (do Thales đề xuất), không khí (do Anaximenes đề xuất), hoặc lửa (do Heraclitus đề xuất) là chất liệu nguyên thủy mà từ đó toàn bộ vũ trụ được tạo ra đã gặp phải một phản đối: nếu thế giới của chúng ta đầy rẫy những hình thức khác nhau này, làm sao chúng ta có thể xác định bất kỳ một ứng viên nào trong số này là chất liệu cơ bản? Bởi vì nếu có lửa trên bếp, chất lỏng trong cốc của tôi, không khí trong suốt có thể thở được, và các ngôi đền làm bằng đá cứng – và tất cả chúng đều chỉ là một chất liệu cơ bản – thì làm sao chúng ta quyết định xem cái nào là cơ bản nhất?

Một vũ trụ của hình học

Tuy nhiên, nếu sự thống nhất cơ bản mà từ đó vũ trụ được tạo ra là các tam giác vuông, thì việc đề xuất cấu trúc cơ bản này – tức là, cấu trúc của lửa, đất, không khí và nước – có thể vượt qua phản đối đó. Đây là những gì Timaeus đề xuất:

Trước hết, thì ai cũng thấy rõ rằng lửa, đất, nước và không khí là những thân thể; và tất cả các thân thể đều có thể tích. Hơn nữa, thể tích phải được giới hạn bởi bề mặt, và mọi bề mặt có đường thẳng đều được cấu thành từ các tam giác. Bây giờ, tất cả các tam giác đều được tạo ra từ hai loại [tức là, tam giác đều và tam giác cân], mỗi loại có một góc vuông và các góc còn lại đều là góc nhọn… Điều này chúng tôi coi như khởi đầu của lửa và các thân thể khác, theo tài khoản kết hợp giữa xác suất với sự cần thiết… [Plato. Timaeus 53Cff]

Một chút sau trong cuộc đối thoại đó, Timaeus đề xuất thêm rằng từ các tam giác vuông, tam giác đều và tam giác cân, các yếu tố được xây dựng – chúng ta có thể gọi chúng là phân tử. Nếu chúng ta đặt trên một bề mặt phẳng các tam giác đều, hình chữ nhật đều (tức là, hình vuông), ngũ giác đều, và cứ như vậy, rồi xác định xem những kết hợp nào gập lại, Plato cho chúng ta thấy sự phát hiện của năm hình khối đều – đôi khi được gọi là các hình khối Platonic.

Ba, bốn và năm tam giác đều sẽ gập lại, cũng như ba hình vuông và ba ngũ giác.

Nếu sự kết hợp của các hình xung quanh một điểm tổng cộng bốn góc vuông trở lên, chúng sẽ không gập lại. Trong thời điểm này, tôi sẽ bỏ qua khối đa diện mười hai mặt (hoặc sự kết hợp của ba ngũ giác tạo thành toàn bộ mà các yếu tố vừa khít vào) để tập trung vào bốn yếu tố: tứ diện (lửa), bát diện (không khí), hai mươi mặt (nước), và lục diện (đất).

Mọi thứ đều là tam giác vuông

Bây giờ, để giải thích thêm về lập luận này, tôi đề xuất cho thấy bằng các hình vẽ rằng tam giác vuông là hình học cơ bản.

Tất cả các hình đều có thể được phân tách thành các tam giác. (Điều này được các nhà toán học hiện đại gọi là tesselation, hay lợp với tam giác.)

Bên trong mỗi loại tam giác – tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông – đều có hai tam giác vuông. Chúng ta có thể thấy điều này bằng cách hạ một đường vuông góc từ đỉnh xuống cạnh đối diện.

Bên trong mỗi tam giác vuông – nếu bạn chia từ góc vuông – chúng ta phát hiện ra hai tam giác vuông tương tự, mãi mãi. Các tam giác là tương tự khi chúng có hình dạng giống nhau nhưng kích thước khác nhau.

Và như vậy, chúng ta đi đến đề xuất của Timaeus rằng tam giác vuông là hình học cơ bản, trong hai loại của nó, tam giác cân và tam giác đều, mà chứa trong chính nó một sự phân tách vô tận thành các tam giác vuông tương tự.

Bây giờ, không ai có thể đề xuất rằng vũ trụ được cấu tạo từ các tam giác vuông mà không có một bằng chứng – một chuỗi lập luận thuyết phục – để cho thấy rằng tam giác vuông là hình học cơ bản. Timaeus đến từ Locri, miền nam Ý, một khu vực mà Pythagoras đã di cư đến và Empedocles cùng Alcmaon đã sống. Các Pythagoreans có thể là nguồn cảm hứng trong đoạn này nhưng không phải hai người còn lại. Bằng chứng nào được biết đến vào thời điểm này cho thấy rằng đó là tam giác vuông? Liệu có phải đó là định lý Pythagore?

Định lý Pythagore vượt qua hình vuông

Chúng ta hiện biết rằng có hơn 400 bằng chứng khác nhau cho định lý nổi tiếng này. Liệu một trong số đó có cho thấy rằng tam giác vuông là hình học cơ bản không? Hãy chắc chắn rằng, không thể là a² + b² = c² vì điều này là đại số, và người Hy Lạp không có đại số! Một nguồn hứa hẹn hơn – bằng chứng bằng các tam giác vuông tương tự – là bằng chứng được bảo tồn tại VI.31.

Chú ý rằng không có hình nào ở cả hai bên của tam giác vuông. (Trong hình trên, góc vuông ở A.) Điều mà sơ đồ cho thấy là bên trong mỗi tam giác vuông có hai tam giác vuông tương tự, mãi mãi bị phân chia.

Ngày nay, định lý Pythagore được dạy bằng cách sử dụng các hình vuông.

Nhưng, định lý Pythagore không liên quan gì đến các hình vuông! Hình vuông chỉ là một trường hợp đặc biệt. Định lý này áp dụng cho tất cả các hình tương tự về hình dạng và tỷ lệ.

Vậy tại sao lại nhấn mạnh vào hình vuông? Bởi vì trong thế giới Hy Lạp cổ đại, việc tỷ lệ chính xác và xác nhận là rất khó thực hiện, và việc xác nhận phải đến từ thực tiễn. Nhưng hình vuông loại bỏ câu hỏi về tỷ lệ.

Pythagoras và triết lý vũ trụ học

Chúng ta có một báo cáo cổ rằng sau khi chứng minh, Pythagoras đã thực hiện một lễ hy sinh lớn, có thể là một trăm con bò. Phát hiện của ông chính xác là gì mà đáng để có một cử chỉ khổng lồ như vậy?

Liệu sự xem xét này có thể giúp chúng ta bắt đầu hiểu ý nghĩa siêu hình của định lý cạnh huyền – nghĩa là, điều được kỷ niệm không chỉ là bằng chứng rằng diện tích của hình vuông trên cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng diện tích của các hình vuông trên hai cạnh còn lại, mà hơn nữa, là bằng chứng rằng hình cơ bản mà toàn bộ vũ trụ được cấu tạo là tam giác vuông?